环形链表2
题意:给定一个链表,返回链表开始入环的第一个节点。如果链表五环,则返回nul。
为了表示给定链表中的环,使用整数pos来表示链表连接到链表中的位置(索引从0开始)。如果是-1,则在该链表中没有环。
说明:不允许修改给定的的链表
思路
这道题目,不仅考察队链表的操作,而且还需要一些数学运算。
主要考察两知识点:
- 判断链表是否为环
- 如果有环,如何遭到这个环的入口
判断链表是否有环
可以使用快慢指针法,分别定义fast和slow指针,从头节点出发,fast指针每次移动两个节点,slow指针每次移动一个节点,如果fast和slow指针在途中相遇,说明这个链表有环。
为什么fast走两个节点,slow走一个节点,有环的话,一定会在环内相遇呢,而不是永远错开呢
首先一点:fast指针一定先进入环中,如果fast指针和slow指针相遇的话一定是在环中相遇,这是毋庸置疑的。
那么来看一个,为什么fast指针和slow指针一定会相遇呢?
可以画一个环,然后让fast指针在任意一个节点开始追赶slow指针。
会发现最终都是这种情况:
fast和slow各自多走几步,fast和slow就相遇了
这是因为fast是走两步,slow是走一步,其实相对于slow来说,fast是一个节点一个节点的靠近slow的所以fast一定可以和slow重合
如果有环,如何找到这个环的入口
此时已经可以判断链表是否有环了,那么接下来要找这个环的入口了。
假设从头结点到环形入口节点 的节点数为x。 环形入口节点到 fast指针与slow指针相遇节点 节点数为y。 从相遇节点 再到环形入口节点节点数为 z。
那么相遇时: slow指针走过的节点数为: x + y, fast指针走过的节点数:x + y + n (y + z),n为fast指针在环内走了n圈才遇到slow指针, (y+z)为 一圈内节点的个数A。
因为fast指针是一步走两个节点,slow指针一步走一个节点, 所以 fast指针走过的节点数 = slow指针走过的节点数 * 2:
(x + y) * 2 = x + y + n (y + z)
两边消掉一个(x+y): x + y = n (y + z)
因为要找环形的入口,那么要求的是x,因为x表示 头结点到 环形入口节点的的距离。
所以要求x ,将x单独放在左面:x = n (y + z) - y ,
再从n(y+z)中提出一个 (y+z)来,整理公式之后为如下公式:x = (n - 1) (y + z) + z 注意这里n一定是大于等于1的,因为 fast指针至少要多走一圈才能相遇slow指针。
这个公式说明什么呢?
先拿n为1的情况来举例,意味着fast指针在环形里转了一圈之后,就遇到了 slow指针了。
当 n为1的时候,公式就化解为 x = z,
这就意味着,从头结点出发一个指针,从相遇节点 也出发一个指针,这两个指针每次只走一个节点, 那么当这两个指针相遇的时候就是 环形入口的节点。
也就是在相遇节点处,定义一个指针index1,在头结点处定一个指针index2。
让index1和index2同时移动,每次移动一个节点, 那么他们相遇的地方就是 环形入口的节点。
那么 n如果大于1是什么情况呢,就是fast指针在环形转n圈之后才遇到 slow指针。
其实这种情况和n为1的时候 效果是一样的,一样可以通过这个方法找到 环形的入口节点,只不过,index1 指针在环里 多转了(n-1)圈,然后再遇到index2,相遇点依然是环形的入口节点。
func detectCycle(head *ListNode) *ListNode {
slow, fast := head, head
for fast != nil && fast.Next != nil {
slow = slow.Next
fast = fast.Next.Next
if slow == fast {
for slow != head {
slow = slow.Next
head = head.Next
}
return head
}
}
return nil
}
- 时间复杂度: O(n),快慢指针相遇前,指针走的次数小于链表长度,快慢指针相遇后,两个index指针走的次数也小于链表长度,总体为走的次数小于 2n
- 空间复杂度: O(1)