环形链表2

题意：给定一个链表，返回链表开始入环的第一个节点。如果链表五环，则返回nul。

为了表示给定链表中的环，使用整数pos来表示链表连接到链表中的位置（索引从0开始）。如果是-1，则在该链表中没有环。

说明：不允许修改给定的的链表

思路

这道题目，不仅考察队链表的操作，而且还需要一些数学运算。
主要考察两知识点：

• 判断链表是否为环
• 如果有环，如何遭到这个环的入口

判断链表是否有环

可以使用快慢指针法，分别定义fast和slow指针，从头节点出发，fast指针每次移动两个节点，slow指针每次移动一个节点，如果fast和slow指针在途中相遇，说明这个链表有环。

为什么fast走两个节点，slow走一个节点，有环的话，一定会在环内相遇呢，而不是永远错开呢

首先一点：fast指针一定先进入环中，如果fast指针和slow指针相遇的话一定是在环中相遇，这是毋庸置疑的。

那么来看一个，为什么fast指针和slow指针一定会相遇呢？

可以画一个环，然后让fast指针在任意一个节点开始追赶slow指针。

会发现最终都是这种情况：

fast和slow各自多走几步，fast和slow就相遇了

这是因为fast是走两步，slow是走一步，其实相对于slow来说，fast是一个节点一个节点的靠近slow的所以fast一定可以和slow重合

如果有环，如何找到这个环的入口

此时已经可以判断链表是否有环了，那么接下来要找这个环的入口了。

假设从头结点到环形入口节点 的节点数为x。 环形入口节点到 fast指针与slow指针相遇节点 节点数为y。 从相遇节点 再到环形入口节点节点数为 z。

那么相遇时： slow指针走过的节点数为: x + y， fast指针走过的节点数：x + y + n (y + z)，n为fast指针在环内走了n圈才遇到slow指针， （y+z）为 一圈内节点的个数A。

因为fast指针是一步走两个节点，slow指针一步走一个节点， 所以 fast指针走过的节点数 = slow指针走过的节点数 * 2：

(x + y) * 2 = x + y + n (y + z)

两边消掉一个（x+y）: x + y = n (y + z)

因为要找环形的入口，那么要求的是x，因为x表示 头结点到 环形入口节点的的距离。

所以要求x ，将x单独放在左面：x = n (y + z) - y ,

再从n(y+z)中提出一个 （y+z）来，整理公式之后为如下公式：x = (n - 1) (y + z) + z 注意这里n一定是大于等于1的，因为 fast指针至少要多走一圈才能相遇slow指针。

这个公式说明什么呢？

先拿n为1的情况来举例，意味着fast指针在环形里转了一圈之后，就遇到了 slow指针了。

当 n为1的时候，公式就化解为 x = z，

这就意味着，从头结点出发一个指针，从相遇节点 也出发一个指针，这两个指针每次只走一个节点， 那么当这两个指针相遇的时候就是 环形入口的节点。

也就是在相遇节点处，定义一个指针index1，在头结点处定一个指针index2。

让index1和index2同时移动，每次移动一个节点， 那么他们相遇的地方就是 环形入口的节点。

那么 n如果大于1是什么情况呢，就是fast指针在环形转n圈之后才遇到 slow指针。

其实这种情况和n为1的时候 效果是一样的，一样可以通过这个方法找到 环形的入口节点，只不过，index1 指针在环里 多转了(n-1)圈，然后再遇到index2，相遇点依然是环形的入口节点。

func detectCycle(head *ListNode) *ListNode {
    slow, fast := head, head
    for fast != nil && fast.Next != nil {
        slow = slow.Next
        fast = fast.Next.Next
        if slow == fast {
            for slow != head {
                slow = slow.Next
                head = head.Next
            }
            return head
        }
    }
    return nil
}

• 时间复杂度: O(n)，快慢指针相遇前，指针走的次数小于链表长度，快慢指针相遇后，两个index指针走的次数也小于链表长度，总体为走的次数小于 2n
• 空间复杂度: O(1)